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本帖最后由 遠野タカキ 于 2010-1-5 02:23 编辑
第8章 调和数
巴哈认为各声部之间就像是一群好友在对话。
以三个声部为例,其中一部突然沉默,
是为了在轮到自己再度说话之前,
能倾听別人的话语。
——福克尔[バツハ小伝](角仓一朗译)
8.1 寻宝
8.1.1 蒂蒂
「学长~~」
放学后,我站在校门口,蒂蒂跑了过来。
「原来在这里啊,在图书室没看到你,还以为发生了什么事情,假如学长现在要回去的话,请让我一起……咦?这个是?」
我将手里拿着的卡片交给她,她将规线移到那张卡片上。
蒂蒂是比小我一届、高中一年级的学妹,平常就像小狗一样绕在我的身边,是个有时候会在图书室里一起用功的好伙伴。她很爱说话,虽然不够稳重,不过偶尔也会露出令人赞叹的认真神情,一头短发配上她那双大大的眼睛,我觉得相当可爱。
「这是……什么?」蒂蒂抬起头。
「嗯,研究课题,就是从这个式子出发,然后寻找『有趣的东西』的习题。」
「?」她仍旧一副不解的表情。
「这个式子就像是藏着宝物的森林一样,看你能不能在当中找出宝物,这张卡片是从村木老师那里拿来的。」
「找出宝物是……」蒂蒂再度看了看我的卡片。
「嗯,从这张卡片出发,自己做出问题,然后再将问题解开。」
「原来如此……那学长你已经从这个算式里找到宝物了吗?」
「不,还没。不过看到这张卡片就能知道一点,这个式子是H∞的定义式,右边的是……」
「啊!啊~~啊~~~~!」
蒂蒂突然大叫让我吓了一跳,她红着脸用两手遮隹嘴巴。
「……抱、抱歉。学长,请你什么都不要说,可以让我也一起『寻宝』吗?」
「什么意思?」
「这个研究课题也可以让我想想看吗?因为我到现在为止都没有试过,想要试一次看看,我想努力将『宝物』挖掘出来。」
说话的蒂蒂摆出拿着铁锹挖洞的样子。
「当然可以,假如找到什么有趣的东西,就写个报告给村木老师吧。」
「咦?不用到这种程度吧。」
她连忙摇头,蒂蒂还是一样有朝气。
「那张卡片先给妳,明天会在图书室讨论,所认妳就想想看吧。」
「好!我会加油的。」
蒂蒂双眼发亮并双拳紧握。
「学长……学长对我……」
蒂蒂的声音突然停止了,她注视着我的背后,接着小声地「唉呀」一声。
我回过头看到米尔迦站在那里。
8.1.2 米尔迦
「久等了。」米尔迦向我微笑。
我在校门前被两个女孩夹在中间。
米尔迦是跟我同班、高中二年级的学生,也是个与长发和眼镜相当相配的美丽女孩,而且数学很好,虽然她常常随便写我的笔记本、突然开始教我数学、做出一些不管別人想法的事情……
蒂蒂突然慌张了起来,「学长是在等人啊……我、我好象打扰了。那个……我先告辞了。」她点了一下头,跟着退后半步。
「嗯……」
米尔迦慢慢地看向蒂蒂,再看向我,又看看蒂蒂,然后她瞇起眼睛微笑,并用和缓的语气说:
「没关系,蒂德菈,我一个人回去就好了。」
米尔迦伸出右手温柔地拍拍蒂蒂的头,接着从我和蒂蒂之间走过。
蒂蒂在被拍的时候微微缩着头,并眨了眨大大的眼睛,她只能看着米尔迦潇洒地离去。
远去的米尔迦没有回头,只有象要回答目送她离去的蒂蒂一样举起右手挥了挥,最后……她消失在转角。
在她做这一连串动作的时候,我则是忍耐着不发出声音,因为米尔迦走过的时候踩了我的脚。
而且是非常用力地。
……很痛
8.2 对话存在于所有的图书室
隔天,放学后的图书室人并不多。
我问。
蒂蒂露出好象要哭出来一样的表情打开笔记本,上面只写上一行算式。
「学长……我的数学果然不行。」
「不,妳有抓到这个式子表达的意思了,这个式子没错。」
「学长,虽然我很想找到有趣的东西……可是我完全不知道之后要做什么才好。」
「象这种无限的连续式子虽然好象可以感觉到什么,但是要实际找出来却很困难。蒂蒂的挑战精神很值得赞赏,从现在开始我们就一起寻宝。」
「咦?啊,不好意思。耽误你宝贵的时间。」
「没关系,我们就慢慢前进吧。」
8.2.1 部分和与无穷级数
「先看问题的式子,这个式子难懂的部分是无限大∞的地方吧。」
「呃……无限大的数是……」
「无限大∞,并不是『数』,至少通常不被当成数处理,例如实数就不包含∞。」
「啊,是这样吗?」
「是的,写做的时候,就要理解成『k从1累进到∞,将所有累加』,不过若是说成∞好象是某个地方的一个数,然后k会慢慢地前进过去,这种说法是不正确的,无穷级数是以部分和的极限定义出来的。」
「那个lim是……」
「limit就是极限,由于数学上的定义很长,在这里我只简单地说明,假定有数列就是表示n在非常大的时候,『的值会变得如何』的式子,在n非常大的时候,可能会『无止境地变大』,也许会『有时变大有时变小』,甚至可能『接近一定的值』,而这个式子在接近一定的值时会被定义,总而言之,就是表示的『目标地点』,而会到达某个目标地点的极限则称此极限收敛。」
「嗯……好难,不过到n在非~~常大的时候,会怎么样的部分我还听得懂……」
「嗯,大难了啊……算了,就是很难用一段的用语表现,所以才用算式写出来,首先对『到达的目标地点是被定义出来的』这件事情有个印象就好,既然是被定义出来的,就不一定能靠直觉理解。不必马上就去求无穷级数的值,从部分和开始思考n→∞的极限才是正确的方法。」
「不、不好意思。对于无穷级数以及部分和的差別,我还是不太清楚……」
「这个是无穷级数,也可以说只是级数。」
「这是部分和。」
「如何,了解差別了吗?」
「嗯,∞和n是不一样的……不过,因为n是变数,所以和∞不是一样的吗?」
「不对,完全不一样,确实n代表变数,不过是表示有限的数,而∞不是数,所以不能用n代入,就是因为n是有限的数,所以才会是有限个项相加,也就是一定能得到计算结果,但是象这样无限个项相加,就不一定会得到计算结果。如果是刚刚有稍微提过的『无止境地变大』或『有时变大有时变小』的状况,目标地点就会不固定,而不固定的值就不能以数看待,另外,目标地点不固定称这个极限发散,当讨论无限个项时,这是一项要非常注意的地方。」
「好的……我已经知道要注意无限了,也知道了发散……所以跟无限有关的话,就算解出算式也不一定是固定的值啊……」
「再来是标记上要注意的地方。下面两个式子都会用到这个刪节号『……』,标记无穷级数用是(1)还是(2)呢?」
「表示无穷级数的……应该是(2)吧。」
「没错,(1)的的『……』并不是表示无穷级数,只是目为写不下所以不写,在这里的项是有限的,而值是固定的并不恐怖,但是(2)的的『……』表现的就是无穷级数,这里面藏着lim,如同在说『或许值会不固定』,有限的『……』和无限的『……』意思完全不一样,所以需要特別注意。」
「看起来一样的『……』,有着不一样的意思呢。」
8.2.2 从理所当然的地方开始
「喔,又谈到无限的话题了,在开始计算无穷级数前必须先习惯有限个项的和才行。为了要习惯∑,就先将n为1,2,3,4,5的式子具体地写出来。」
「那么现在开始计算部分和吧,首先要注意的值是『由n決定』的。所以即使写做Hn也是可以的,这是Hn的定义式。」
「不、不好意思请稍等一下,『由n決定』这边我不太懂。」
「嗯,象这样会将自己不懂的地方提出来正是蒂蒂的优点,不管是5或是1000,只要n的值是具体固定的,这个式子的值就是固定的,这就是『由n決定』的意思,所以可以写出以n为标记的Hn。这样的话,H5就和H1000一样,只是命名上的问题。」
「为什么用H呢?」
「因为卡片上写作H∞,所以部分和就用Hn。」
「啊,原来如此,话说回来……写为Hn,虽然n留下来了,但是k为什么却消失了?」
「因为中的k是只在∑中使用的变数,不会用在其他的地方,象k这种变数称为约束变数,意思就是在∑中被约束的变数,也不一定非使用K不可,可以填入自己喜欢的文字,像i,j,k,l,m,n这些都常常使用。啊,不过由于i是表示的虚数单位,所以会造成混乱的时候就不要用,另外平常会用n当约束变数,但是这里不行,因为n已经有其他的意思了,把写成的话,意思就会变得很奇怪。」
「好的,我知道了。不好意思打断学长的说明。」
「不,没关系。不知道的地方还是问清楚比较客易进行下去。」
我们相视而笑。
8.2.3 命题
「那么来列举与有关的部分,因为『举例是理解的试金石』,下面的敍述正确吗?」
n=1的话,Hn=1。
「是正确的。图为H1=1,这是当然的……啊,原来如此,『从理所当然的地方开始』,对吧?」
「没错,妳记住了,即下面的敍述成立吗?」
对所有的正整数n,Hn>0。
「会成立。」
「象这样判断是否会成立的数学主张称为命题,命题可以用国语或英语,甚至是算式来写……那么,下面的命题会成立吗?」
对所有的正整数n,当n变大时,Hn必然变大。
「这个……是的,没错,n变大就代表会有更多的数相加。」
「是的,正数相加就会变大,『当n变大时,Hn必然变大』这个命题,也可以用算式写成下面的式子,这种方式会比较严密。」
对所有的正整数n,Hn<Hn+1。
「确实,这个……命题会成立,不过……比起『当n变大时,Hn必然变大』,『Hn<Hn+1』会比较严密啊……嗯……」
我静静地等待蒂蒂的思考。
「啊,我知道了。『变大』这个动作和使用不等号的『大于』在敍述的表现上是不同的吧,就象英语的一般动词和be动词一样?」
「咦……?」
蒂蒂的话带给我一些冲击,『变大』和『大』的差別?一般动词和be动词?……原来如此,或许是这样吧,之前村木老师好象有稍微提过,追寻数列变化型态的观点与捕捉数列各项关系的观点……是『过程的定义与敍述的定义』的话题……
「学长……怎么了吗?」
「不,妳说了以后我才想到也有这种看法,不过我只是要表达『比起一般生活用语,用算式表达会比较严密』而已,话说起来,蒂蒂,妳到底是……?」
「什么?」蒂蒂歪着头,眼睛骨碌碌地转着。
「没事……继续往前进吧,下一个命题会成立吗?」
「会成立,因为Hn是以分数的和来定义的,所以用减法会出现分数也是当然的。」
「很可惜答错了,不会成立,右边的分母是错的,要象下面的式子,分母不是n而是n+1才会成立。」
「咦~~啊?原来如此,出陷阱题太过分了。」蒂蒂开始对我抱怨。
「抱歉抱歉,不过还是要好好地确认过才行。」
「是这么说没错……」她不满地嘟起嘴。
「那么Hn+1 - Hn到底会变成怎样呢?能使用Hn的定义式计算吗?妳动笔试试看。」
「好的,嗯……」
「好,做的很好,那么这次就由蒂蒂命题看看。」
「嗯……那因为出现了Hn+1 - Hn ……所以这个命题可以吗?」
对所有的正整数n,当n变大时,Hn+1 - Hn会变小。
「没错没错,很好,算式的话要怎么写呢?」
「这样吗?」
对所有的正整数n,Hn+1 - Hn > Hn+2 - Hn+1
「就是这样,非常好!」
「加上去的数,像这种『变小』的感觉就用『小』的算式表现。」
8.2.4 全部的……
「蒂蒂,像这样把一切都用算式表示是很重要的,就算是一些理所当然的事也不要紧,尽量写写看,这是一个练习使用数学语言的好方法。」
「好,我想起学长之前曾经对我说过『玩数学就象在捏粘土』,我捏我捏……」蒂蒂一边说一边做出捏粘土的动作。「啊,不过『对所有的正整数n……』这个不算是式子吧。」
「嗯,要说明正整数的集合,就用这个算式。」
「这个算式要怎么唸啊?」
「,用说的就是『对所有正整数n』……或是『对任意整数n』吧,∀是All的A倒过来写。」
「这个好象跟一般的N不太一样?」
「是的,写N的话会被当成是一般的数,但是写成就能很清楚地知道『这不是数,而是集合』。」
「那这个∈呢?」
「这是用来表现元素∈集合的形式,是要表示『集合中的元素』的意思,写成的话,就是代表『在这个集合中,无论选出哪一个完素n……』的意思。」
「意思就是不管选出哪个都可以吧……学长,这样学数学就象在写作文一样,不这不是英文作文而是数学作文。」蒂蒂笑着说。
「数学作文……数学确实也有这样的—面,大部分的算式都会经过压缩后再以简洁的方式再现,所以想要搞清楚这个算式到底在写什么的时候,还是慢慢来比较好。」
「那算式就像浓缩果汁一样啰?一口气喝下去的话会有危险吗?」
「……好了,我们将算式具体地写出来。」
「象这样Hn+1 - Hn的值就会渐渐变小,就跟刚才蒂蒂妳玩的一样。」
「是的。」
「H1,H2,H3,H4,H5,……虽然本身越变越大,但是『变大的量』,也就是『增加量』却逐渐减少。每个数字之间增加地越来越少,这样的话……」
「啊,请等一下,这个『增加地越来越少』的部分,我想可以用我刚刚写的算式表现,嗯……就象这样。」
对所有的正整数n,Hn+1—Hn>Hn+2—Hn+1。
「没错,就是这样,虽然增加的越来越少这种说法很嗳昧,但是用算式写出来就很清楚了,也会变得比较容易理解,虽然有很多人觉得既复杂又难以理解,不过很多状況不写算式反而会更加难懂,算式是一种语言,只要使用得当,就能帮助自己理解,或是成为传达讯息的有用工具。」
「好的,我看看。将目前的命题用算式写出来的话……这样写可以吗?」
「嗯,不错,就是这样。」我说。
蒂蒂似乎很高兴。
8.2.5 ……是存在的
「那么,差不多要看见最初的宝物啰。」
「咦?」
「到目前为止定义了,n变大的话,Hn也会随着变大,不过增加量会越来越少,如此一来,在n变大时,Hn也会不断地变大吗?还是说,即使n不断地增大,Hn也不会大到超过某个数呢?」我提出质疑。
「也就是下面的式子会不断地变大,最后出现瓶颈吧?」蒂蒂将白己的头托在手上说。
「没错,这就是从那张卡片上自然而然会发展出来的问题,要调查这个题目是发散还是收敛,用算式写写看。」
「∃?」
「∃不是日文片假名的yo,而是将Exists的E反过来写的记号。」
「『存在』吗?也就是说。」
「蒂蒂的发音很漂亮,可以用『n exists』,或者用『there exists n』也没关系,再用such that补充的话就更容易明白了。」
「学长,用讲的要怎么说?」
「硬要说的话就会象这句话。」
对任意的实数M,有一个正整数n存在,使成立。
「虽然很啰唆……不过勉強能懂。」蒂蒂回答。
「下面的(a)和(b)两个式子,妳能知道它们哪里不一样吗?」
我在笔记本上写了两行算式。
「稍微有点长,所以为了让意思清楚一点,就加上括弧吧。」我加上括弧并对蒂蒂说明。
蒂蒂将英文唸了几次,陷入沉思。
「……我觉得我应该懂,顺序很重要吧?(a)这边是决定M然后找n,在找n的时候M不会变,但是(b)这边是先决定n,然后对n寻找所有M……这样吗?」
「是的,意思对了。(a)这边是一开始选出M,然后用M去找n,认为可以在对全部的M中找到n,依照选择的M,n不同也没关系,但是(b)这边是先找到n,无论这个n是什么数,都会对全部的实数M成立这个不等式,在(b)的情形下,选择M的时候n不会变。这次的问题8—1说的是(a),这没问题吧?」
「……勉強没有。」蒂蒂说。
「要用语言来表现(a)与(b)的差异是非常困难的,但是仔细地看的话,用算式就可以很清楚地表现。」
「的确要用语言区分很困难,话说回来,这个不等式中出现的M是什么啊?」
「妳觉得是什么呢,蒂蒂?」
「嗯,很、很大的数?」
「大概就是这种感觉吧,比起表现『会一直变大』,用任意实数M来表现『比M还大』会更清楚,无论M设多大,只要有象问题8—1那样对M存在的n,就可以说会一直变大下去,苦是对其中任何一个M都不存在相对的n,就不能说会一直变大下去。」
「原来如此……虽然好象绕了很大一圈,不过我终于将意思弄明白了……呼。」
「嗯?累了吗?」
「不会不会~~有一点点累而已。不过多亏学长的说明,让我的『数学作文的语汇』增加不少。」
「真是辛苦妳了,蒂蒂,今天就到这里为止吧,差不多管理员瑞谷老师也要出现了,就等明天放学后再打开这个宝箱吧。」
「好!学长……我……非常高兴喔!」
「没错,数学很有趣吧?用算式这个新语言,就不会让思绪变得暧昧喔……」
「我是说,能和学长一起……呃,嗯,是的,没错,明天也要拜托学长了!」
8.3 附有无止境上昇螺旋阶梯的音乐教室
隔天,午休的音乐教室中。
经过的学生们都被钢琴声吸引而停下脚步观看。
两位美少女正在平台钢琴前联手弹奏。
其中一位是才女米尔迦,另外一位是喜欢钢琴琴键的少女英英,她是钢琴社团『极強音』的社长,也是高中二年级的学生,虽然和我跟米尔迦是同学年,不过不同班。
米尔迦与英英弹着以上昇音阶为基调的变奏曲,两个人配合呼吸、弹着相似的旋律,在不断反复的同时,音阶也逐渐上昇,咦?彷彿快要超越钢琴的音域了……不,这不可能,拉回注意力的时候,不知所时音阶又降下来了,到底是什么时候降的?这真是非常不可思议的感觉……就象是爬上永无止境的楼梯一样,这种令人焦急的感觉有如拥有能一口气冲上天的巨大翅膀,却在螺旋阶梯上一步一步地往上爬,无限上昇的无限音阶、永远持续变奏的音乐,她们竟然能用钢琴弹出这种曲子,着实让我惊讶。
从我的位置可以看见米尔迦快速移动的手指(就是那温暖的手指),嗯,确实能看见手又回到左边的低音部,不过我的耳里却只听得见不断上昇的音乐。
曲子在最后慢慢地转向渐弱,然后淡出,在残响消逝的那一刻,在场的人爆出叫好声与拍手声,米尔迦与英英站起来行了个礼。
「有趣吗?」米尔迦问我。
「真不可思议,明明只是有限的琴键,却好象有无限的曲调。」我说出感想。
「就象向正无限大发散一样有趣,明明有限却发散这点很矛盾。」米尔迦露出开玩笑似的微笑。
「似乎有用不同的八度音吧。」
「没错,让不同音程的八度音同时平行上升,然后音越高音量就越小,在高音消逝的同时以小音量混入低音,在中音域表现最大的音量,这样就能瞒过人的耳朵产生无限上昇的感觉,一个人弹的话会有表演极限,所以要两个人。」
「不能把祕密说出来啊!」英英靠了过来并说:「要做出这曲子真的很难,因为只有单纯的音阶就不有趣了,所以要用快节奏让听众不令听腻,还要不能太过单调,得让人有不可思议的感觉,幸好米尔迦的手指很灵敏,真是帮了我大忙。」
「对了,我希望下次是梅比乌斯环形状的协调曲。」米尔迦笑着建议。
「那是什么曲子啊!……算了,下次再一起弹吧。」英英一边苦笑,一边走向自己的教室。
米尔迦则是绕起食指哼歌,和我一起往教室走去。
看来她的心情非常好。
8.4 不愉快的
在午休的后半段,米尔迦啃着当成午歺的巧克力在我前面坐下。
「你看过村木老师的这张卡片了吗?」说完话的她把卡片放下。
(咦?和我的不一样。)
米尔迦不等我的回答就继续说下去。
「是向正无限大发散的这件事已经很有名了,证明很快就可从完成。不过正因为这样,我才想要用不同的方式试试看,我的想法是先……」
我呆然地听着米尔迦飞快的说明,脑中想着(原来老师这次给我和她的是不同的卡片啊),印象中有听过函数,应该是目前最尖端的数学领域,原来如此,这是配合才女米尔迦实力的困难问题。
……话说起来,不晓得蒂蒂解出昨天的问题了吗?蒂蒂,那个蹦蹦跳跳的女孩到厎该怎么形容呢,虽然觉得她并不是很擅长数学,不过她的行动与夺敘述……具有相当敏锐的洞察力,不过本人似乎没有意识到这一贴。
一开始我是以教导学妺的态度与蒂蒂对活的,不过最近有点不同,在与她解答问题的同时,会有种需要重新整理思考的感觉,我说明,而蒂蒂接受,这样的行为不断地累积,就象一阶一阶地爬上楼梯的感觉; 接着换蒂蒂说明,我接受,哈哈……就象递移公式一样慢慢地、慢慢地产生变化,然后一个一个确认……而且,我被蒂蒂那双大眼睛一直凝视着的时候,就会……
「喂。」米尔迦叫我。
面无表情的米尔迦盯着我。
糟了,我完全没在听她说话,这真是太糟糕了。
上课的铃声响了。
米尔迦无言地起身,看都不看我一眼就走回自己的座位。
看来她的心情非常糟。
8.5 无限大的过分评价
由于今天是图书室整理内部的日子,所以不能使用图书室,我和蒂蒂就在別馆的大庁『学仓』角落找了个位置进行计算。
「不好意思。」
蒂蒂慎重地行礼后在我的身旁坐下,她稍微迟到了一下子,从她的身上飘来特有的香味,而耳边传来的是练习中的长笛二重奏。
蒂蒂在旁边看着。
「在这里稍微休息,虽然中间变成了不等式,妳应该能理解吧? 为了方便广义化,这里就不计算到最后,而只到为止。虽然现在只看H8,不过H1,H2,H4,H8,H16……都是用一样的方法,最后会变成这样。」
「要将这式子广义化不难,会m为0以上的正数,则下式成立。」
「不过这是不等式吧,不是等式的话,不就不能求H2m的值吗?」
「现在的目的并不是要求H2m的正确值,而是要看出H2m到底能大到什么程度。妳想想看,依照上面的式子,m值很大的话会发生什么事情?」
「……啊,我知道我知道! 会一直变大! m变大的话,就会一直变大下去。所以……嗯! 用不等号来想的话,只要m变大,H2m要大到什么程度都没问题!」 |
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