本帖最后由 ihcinihsdk 于 2015-6-15 14:32 编辑
第一章 将无限的宇宙置于手中
“同学们，有人说它像一条大河，也有人说它像一片牛奶流淌后留下的痕迹——白茫茫的一片究竟是什么东西，你们知道吗？”
——宫泽贤治 《银河铁道之夜》
1.1 银河
“哥哥，好漂亮啊。”尤莉说道。
“是啊。究竟有多少，根本数不清呢。”我回答道。
尤莉是初中二年级学生，而我是高中二年级学生。
她管我叫“哥哥”，可我并不是她的亲哥哥。
我的母亲和尤莉的母亲是姐妹。也就是说，我是她的表哥。
她离我家住得很近，比我小三岁，自小就和我经常一起玩耍。尤莉很钦佩我（译者注：也可以理解成，尤莉一直追随着我）。我和她都是独生子。
她对我房间里有很多书这一点非常满意，每到休息日，她就会泡在我的房间里读书。
那一天，我们也是在一起看着星的图鉴。那大开本的图鉴上，登着很多照片。织女、牛郎、天津四；南河三、天狼、参宿四……所谓星星的写真，说起来不过就是光点的集合，但我们却一直沉浸在这规律若有若无、时隐时现的美丽之中。
“人常说，仰望星空的人又‘数星星的人’和‘描绘星座的人’这两种。数星星的人和描绘星座的人，哥哥你是哪种呢？”
“应该是数星星的人吧。”
1.2 发现
“哥哥，高中的课业难吗？”摇着栗色的马尾，将图鉴放回书架上的同时，尤莉说道。
“课业？也没有多难。”我一边擦着眼镜一边回答道。
“可是，在这里的书看上去都很难。”
“因为这些都不是学校学的那种，而是自己喜欢才读的书。”
“喜欢读的书却很难，真是奇怪。”
“因为喜欢读的书，总是在自己理解能力的最前沿嘛。”
“说来，数学书还是一如既往得多啊……”尤莉依序注视着一本又一本书，拼命伸直脊背，想要看在高高的书架上面的书脊。那细长的牛仔裤，与她那苗条的体型非常相称。
“尤莉，你是不是讨厌数学？”
“数学？”尤莉转过身来，“也不是，不能说喜欢，但也不讨厌。哥哥你——很喜欢吧。”
“嗯，哥哥我呀，喜欢数学哟。在学校上课结束以后，也会在图书室搞数学。”
“嗨——”
“图书室在学校的一个角落，冬暖夏凉。我非常喜欢图书室呢。每次去那里，都会拿几本喜欢的书，几乎都是跟数学有关的书。还有，会拿上笔记本和自动铅笔，在那里写算式，以及，思考。”
“Hmm……没有作业，却在写算式吗？”
“嗯。我会把作业在休息的时候就写完，放学后则去摆弄算式。”
“那样……很快乐吧……”
“还会画图哟，有时还能发现很美的事物。”
“诶？自己在笔记本上写，还会发现美丽的事物？”
“嗯，会发现的哟，而且是很不可思议的事物。”
“……你也给尤莉我教教这种东西吧喵。”（译者注：最后的“喵”原文「にゃあ」，上面加了着重记号。后面一句就会有解释。）
我这表妹啊，只要是在撒娇的时候，不知为什么就会用猫语。
“可以哟，现在就来试试看吧。”
1.3 寻找与众不同
我在桌子上把笔记本摊开，对她招了招手。尤莉将椅子拖过来，在我左边有些拘谨地坐下。一瞬间，就闻到了香波的香味。尤莉从衬衫中取出带框的眼睛，戴上了。
“诶？这些，是哥哥你的字？”
尤莉看向笔记，这样叫道。啊，那是米尔迦同学的——
“嗯——这个啊，是哥哥的朋友写在上面的题目。”
“嗨——这字真漂亮，就像是女孩子的字一样。”
这就是女孩子的字啊，我心中这么回答道。
哪个数与众不同？
101 321 681
991 450 811
“哥哥啊，这是什么题目呢？”
“嗯，这是要找与众不同的数的题目。这里一共有六个数吧：101，321,681,991,450，还有811。而这些数中，只有一个‘与众不同’，问题就是将那个数找出来。”
“不是很简单吗，是450吧。”
“嗯，回答正确，与众不同的数是450。理由是什么呢？”
“只有450不是以1结尾，而其他五个数都是以1结尾。”
“正是如此……那么，下面这个题目呢？这也是我的朋友出的。”
哪个数与众不同？
11 31 41
51 61 71
“呃……全部都是以1结尾的呀。”
“嗯，和第一个‘与众不同’的规则不一样哟。每个题目与众不同的理由不尽相同。”
“……我不会啊。哥哥你会吗？”
“嗯，很快就明白了。51与众不同。”
“诶！为什么呀？”
“只有51不是素数。51 = 3 × 17，可以进行素因数分解，因此是合数，而其他的都是素数。”
“这种我怎么会懂啊！”
“那么，接下来这个题目呢？”
哪个数与众不同？
100 225 121
256 288 361
“嗯——哥哥，这次应该是256与众不同吧。其他数字都有两个数字连续出现，像是100中的00，225中的22，288中的88什么的，都是连续出现的吧？”
“诶？可是，121中并没有连续出现的数字哟。”
“呜，这里有1出现过两次，没问题的。”
“可是，361又怎么样呢？”
“呃——”
“这个问题，与众不同的是288哟。”
“为什么呀为什么呀？”
“只有288不是平方数，也就是说，只有288不能写成某个整数与它自己相乘的形式。”
100 = 10^2 225 = 15^2 121 = 11^2
256 = 16^2 288 = 17^2-1 361 = 19^2
“……那个，哥哥啊，这种东西能会才叫奇怪吧。”
“那么接下来这个呢？哥哥我解这个问题可是花了一天哟。”
哪个数与众不同？
239 251 257
263 271 283
“你能一直考虑整整一天，这一点才让我吃惊啊。”尤莉这么说道。
此时，母亲端来了可可。
“啊，麻烦您了，谢谢。”
“你的脚还好吧？”母亲问尤莉。
“没问题的。”
“‘脚’是指？”我问道。
“我的脚踵有时候会突然很痛。”尤莉这么说道。
“说不定是生长痛吧……”
“没关系的，已经定好下周去医院看了。”
“是吗？……话说啊，这房间里要是有小尤莉可能喜欢的书那就好了。”
母亲环顾了一下我的书架，这么说道。
“啊不不，我喜欢哥哥的书架哟……啊，这可可真好喝！”
“太好了，晚饭也在这里吃吧。”
“好——的，一直以来，麻烦您了。”
“你们有什么想吃的东西吗？”母亲交互地看着我们。
“我想想啊，让人感觉健康的东西就行。”
“虽说如此，还是吃点有光泽的东西吧。”我说道。
“虽说如此，还是来点有异国风情的吧。”尤莉嘻嘻地笑着。
“虽说如此，还是来和风的吧。”我也笑道。
“喂，孩子们……你们当妈妈是什么人啊——好吧，就来满足一下你们那又具体又有一贯性的要求吧。”（译者注：“又具体又有一贯性”上加了着重记号。）
母亲那么说着，出了房间，而我们则拍手欢送着她。
1.4 时钟巡回
“不要再出题了，‘美丽的发现’究竟是怎么一回事啊？”
“那么，让我们来说说时钟巡回的话题吧。”
“嗯。”
“这样子，画一个圆——圆你知道吧。”
“当然啦。”
“画一个圆，当作是时钟。从12点开始，每两小时的地方连一条线。也就是说——首先从12到2连一条线。接下来，再次2到4连。然后是，从4到6，从6到8这么下去。懂了吗？”
“我懂啊。”
“一直连下去会成什么样呢？”
“会回到12围成一圈，成一个六边形。”
“没错，围成一个六边形。2,4,6,8,10和12会被连起来，而1,3,5,7,9和11则留在了一边。”
“嗯，我明白。就是说偶数都被连起来，而奇数被撂下了呢。”尤莉点了点头。
“是的。啊尤莉，你知道偶数和奇数啊。”
“那个，哥哥，你从刚刚开始……就一直在耍尤莉我吧？”她鼓起了脸颊。
“没有没有——那么，接下来，再话一个时钟吧。刚刚是每两个时刻连一条线，而这次，每三个时刻连一条线吧。这样一来，就是3,6,9，然后回到12。”
“这次成了菱形呢，哥哥。”
“接下来取‘步长’为4吧。”
“步长？”
“‘每四个时刻连一条线’被称为‘步长为4’——当步长为4时，4,8以及12就会被连上。”
“得到了三角形。”
“那么，接下来。这次五个五个连下去，也就是说——”
“也就是说，步长为5吧。”
“没错，这次就有意思了哟。5,10,3,8,1,6,11,4,9,2,7，然后回到12。”
“哦哦！真是意外啊，太有趣了。完美地转了一圈。”
“是啊。尤莉你刚刚所说得‘完美地转了一圈’，实际上就是‘巡回了所有的数’的意思吧。”
“嗯，是的。转过一圈以后并没有回到12，而是错位了。而那错位的地方在移动着——最后终于回到了12。于是最后便经过了所有数。”
“没错，让我们把巡回时钟表盘上所有的数称为‘完全巡回’吧。当步长为5时，就能够完全巡回。”
“明白了。”
“这次该步长为6了。”
“步长为6的话，好无聊啊，只有6和12 呀。”
“那么，这次由尤莉来试着画画看吧，哥哥我就在旁边看着。”
“嗯，明白了。我来试试——那个，步长是7吧。从12开始，每七个向右画下去。首先到7，然后是，那个，2吗。2接下来是9……9,4,11,6,1,8,3,10,5,12，啊，完美地——跑遍了所有数呢。完全巡回！”
“你有什么发现吗？”
“什么，是指？”
“没什么。”
尤莉看着图，沉思着。
我看着她那认真的侧脸。尤莉她那栗色的头发在后面系着，眼镜十分称她，一副认真的初二学生的样子。
“呒，看不出来。”
“把刚刚步长为5和7的图放在一起看看吧。”
“嗯？……啊，是逆序的！那个，每七个向右前进，正好与每五个左前进是相同的。”
“是的，那么这次步长为8的话——”
“啊，不行不行啊，哥哥。你别画了！让尤莉来！这是步长为4的逆序啊。”
“是的。”
“剩下的全部，都由尤莉我来画。”
“还真是，挺有意思的呢。”
“步长为1和11的情况也画画吧，尤莉。”
“啊，是啊……步长为1时，可以一个不落全部连上了呢——呃，这也叫完全巡回吗？”
“而步长为6的情况呢，要说的话，是自己和自己组成一对哟，尤莉。”
“全部都配成对了呢……嗨——明明是自己亲手画的，却有所发现呢。”尤莉说道。
“应该说，正是自己亲手画才能有所发现吧。”（译者注：上句尤莉所说的“明明……却”与这句的“正是……才”这几个字上加了着重记号。）
1.5 完全巡回的条件
“哥哥，你在图书室就是做这些吗？”
“嗯。哥哥我啊，喜欢这样的游戏呢。玩时钟巡回这个大概是在初中时吧。我的笔记本上画了很多像这样的图形呢。”
“那个，哥哥啊，这个图形有什么秘密吗？”
“看上去确实有着某种法则呢。”
“嗯，看起来的确有！”
“比方说，究竟在什么时候才能‘完全巡回’呢？”
“诶，不是步长在1,5,7,11的时候吗？”
“话虽这么说没错……我们姑且先来整理一下吧。”
针对可以完全巡回的步长整理
步长是1,5,7,11的话，可以完全巡回。
步长是2,3,4,6,8,9,10的话，无法完全巡回。
“这不是很清楚了嘛。”
“即便是很清楚了，还是应该好好地整理哟，尤莉。将步长是哪些数时才能完全巡回作为特例加以整理（译者注：“特例”上加了着重记号），然后希望能从这点去找出这些步长所拥有的法则。（译者注：“法则”上加了着重记号）。‘从特例出发找出法则’，这叫作‘归纳’。为了进行归纳，需要更仔细地进行考虑。你觉得完全巡回的规则是什么呢？”
问题 1-1 （完全巡回规则）
要完全巡回，步长需要有什么性质呢？
“我还不太清楚，那个……这简直就像，尤莉我和哥哥两个人在一起研究一样。”
“尤莉。不是像在研究，我们本来就是在研究。虽说问题本身比较小。”（译者注：“像”和“是”上加了着重号。）
1.6 在何处巡回？ “对于每一个步长，将可以巡回到的数列成表（译者注：‘表’加粗）吧，不管访问顺序。” | 1 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
“这个表该怎么看呢？” “最左侧的一列，纵向排列的数1~11表示步长，然后在右侧横向排列的数，是在当前步长下，将巡回到的数按照从小到大的顺序进行排列的结果。比方说，这个表格表示了在步长为3的情况下，可以经过3,6,9,12四个数——你看了这个表，能发现些什么吗？” “……有点倍数的感觉吧？” “这该怎么讲呢？” “呒……说不清楚。” “这不行哟，要将自己所想明白地说出来。” “那个，总感觉巡回到的数都是在‘所有巡回到的数中最小数’的倍数。” “嚯嚯，比如说呢？” “比如说，从上数第二行，2,4,6,8,10,12全部都是2的倍数；接下来，刚刚哥哥你说的从上面数第三行，3,6,9,12全部都是3的倍数。因此——当最左边的数为1时，就可以跑遍全部的数，就能完全巡回。比如当步长为1,5,7,11时就是这样，该行凑齐了1~12中所有数。因为啊，任何自然数都是1的倍数！” “原来如此！确实如你所说呢。让我们选出1,5,7,11这几行吧。” | 1 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
“对吧？对吧？” “的确如此。可以完全巡回的步长那一行，一定包含1；然后，无法完全巡回的步长那行，都一定不含1……” “嗯、嗯。这样子应该就能回答问题1-1（完全巡回的规则）了吧？” “不，还不能。问题要求的是步长的性质。因此还必须要说明在怎样的步长下，巡回到的数中才含有1.” “……这是怎么一回事啊，哥哥？” “让我将‘巡回到的数中最小的那一个’称为‘最小巡回数’吧。刚刚尤莉你已经发现‘最小巡回数’为1的话，就能够完全巡回了吧？” “是啊。” “那么，问题就是：能不能从‘步长’中计算出‘最小巡回数’。让我们写下来刚刚研究过的‘步长’到‘最小巡回数’的对应关系吧。那么，你明白‘最小巡回数’的计算方法了吗？” 步长-->最小巡回数 1-->1 2-->2 3-->3 4-->4 5-->1 6-->6 7-->1 8-->4 9-->3 10-->2 11-->1 “嗯，不明白啊。最初是1,2,3,4，可突然又回到了1。” “那么，一个提示：时钟表盘数是1~12共12个，试着与12这个数结合起来考虑考虑。” 表盘上数的个数 与 步长-->最小巡回数 12与1-->1 12与2-->2 12与3-->3 12与4-->4 12与5-->1 12与6-->6 12与7-->1 12与8-->4 12与9-->3 12与10-->2 12与11-->1 尤莉摆弄着马尾，考虑了片刻。 “额额……额额额额……倍数……？好像左边的数，都是右边数的倍数呢。” “嚯嚯？” “比方说，看从下面数第四个，左边是12和8，而右边是4。12和8两个数都是4的倍数啊！” “原来如此，的确是这样……” “啊，这个在学校讲过哟。那个，公倍数——不对，反了，是公约数。右侧的‘最小巡回数’，是左侧两个数的约数……由于是两个数的约数，因此是公约数！12与步长——也就是表盘上数的个数与步长的公约数，就是‘最小巡回数’哟！” “真厉害！但是有些可惜，并不仅仅是公约数。” “诶——啊，是吗。是最大公约数哟！” “的确如此。那么，在什么时候才能能够完全巡回时钟呢？” “是最大公约数为1的时候——‘表盘上数的个数’与‘步长’的最大公约数为1的时候可以完全巡回。” “对的，完全正确！” “太好啦！”
解答1-1 （完全巡回的规则） 要完全巡回时钟，表盘上数的个数与步长的最大公约数需要等于1。
“总而言之，就是‘互素’的时候可以完全巡回。” “互、素？……是什么意思啊？” “也就是说‘最大公约数为1’。”
互素 假设自然数a和b的最大公约数等于1。此时称a与b互素。
“比如说，12与7的最大公约数等于1，因此12与7互素；再比如，12与8的最大公约数等于4，因此12与8不互素。如果用互素来表达，完全巡回条件就可以这样表示——完全巡回时钟，当且仅当表盘上数的个数与步长互素。”
解答1-1 （完全巡回的规则） 要完全巡回时钟，当且仅当表盘上数的个数与步长互素。
“Hmm——互素，吗……” “尤莉，你真了不起，总是会确认一下‘究竟是什么意思’——刚刚哥哥我画表的时候，你不也问了‘这个表究竟怎么看’吗。当不太明白其中含义的时候，就问个明白这是很重要的。尤莉你就是那种‘会问个明白’的人呢。” “可是，尤莉我很笨啊，很多东西都不懂才问的啊。” “尤莉你可不笨哦，当不懂的时候就说‘不懂’这是对的；笨的人是，明明不懂却‘装懂’的人哟。” “喵哈哈……明明人家说了 ‘不懂’，却还表扬的也只有哥哥你了哟。可是，我被褒扬了很开心喵。”（译者注：翻译成“褒扬”的地方加了着重号。原文「ほめらりる」，正确的用法是「ほめられる」，被表扬的意思） “褒扬？” “好了啦！我很害羞啦，不要吐槽嘛——”
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发表于 2015-6-14 07:54
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